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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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5. Calcule los siguientes límites
a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x}$

Respuesta

Bueno gente, atentí acá. Esto es lo que yo te comenté en la primer clase de límites. Todos los límites que vamos a resolver en este ejercicio saldrían por L'Hopital muy fácilmente. Así que yo acá voy a resolver todo esto sin usar L'Hopital para que les quede la guía resuelta y aparte porque seguro en clase (si vienen al día) lo están viendo. Cuando uno todavía no sabe L'Hopital, te enseñan un "límite especial" que es:

$ \lim _{x \rightarrow 0}\ \frac{\sin (x)}{x} = 1 $

En particular esto vale para cualquier choclo que tienda a $0$ que tengas en el lugar de la $x$, por ejemplo

$ \lim _{x \rightarrow 0}\ \frac{\sin (3x)}{3x} = 1 $

$3x$ tiende a $0$, lo tenés adentro del seno y abajo dividiendo, eso tiende a $1$ siempre. 

En este otro ejemplo también:

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(x^{2}+2 x-3\right)}{x^{2}+2 x-3} = 1$

Lo de adentro del seno tiende a $0$ y lo tenés abajo dividiendo también, entonces "por límite especial" esto tiende a $1$.

Todos estos ejercicios que vamos a resolver ahora salen intentando reescribir las expresiones para que nos aparezca un "límite especial". 

En este caso tenemos:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x}$

Si multiplicamos y dividimos por $3x$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x} \cdot \frac{3x}{3x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Por lo tanto,

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x} = \frac{3}{2}$
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Avatar Benjamin 25 de abril 20:30
Por que en los denominadores se intercambian los 2x y el 3x? 
Avatar Flor Profesor 25 de abril 21:30
@Benjamin Eso lo podés hacer sin problemas. Por ejemplo, así como $2 \cdot 3$ es lo mismo que tener $3 \cdot 2$, tener $2x \cdot 3x$ es lo mismo que escribirlo como $3x \cdot 2x$. 

Entonces los podemos intercambiar sin problemas para dejar el $3x$ abajo del $\sin(3x)$ y que sea más obvio que nos aparece el "límite especial". 
Avatar Benjamin 25 de abril 21:44
Okeyy, gracias!
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